Calcolo Esempi

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Scomponi $\sqrt{x}$ da $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $\sqrt{x}$ da $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Scomponi $\sqrt{x}$ da $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 5.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.3.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 5.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 5.2.3.3

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 5.2.3.4

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 5.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 5.2.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.6.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 5.2.3.6.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 5.2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Passaggio 6

Espandi $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Passaggio 6.2

Riordina $x^{- \frac{3}{2}}$ e $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6.7

Somma $- 3$ e $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6.8

Moltiplica $x^{- \frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 11.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$