Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{2} (x + 47)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} (x + 47)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 47$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $47$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $47$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

Passaggio 1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

Passaggio 1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Passaggio 1.4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.4.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Passaggio 1.4.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Passaggio 1.4.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Passaggio 1.4.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Passaggio 1.4.4.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

Passaggio 1.4.4.6

Moltiplica $2$ per $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

Passaggio 1.4.4.7

Moltiplica $94$ per $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

Passaggio 1.4.4.8

Somma $5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{2} + 470 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $470$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $470 x$ rispetto a $x$ è $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $470$ per $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $30 x + 470$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $30 x$ rispetto a $x$ è $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $30$ per $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $470$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $470$ rispetto a $x$ è $0$ .

$30 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $30$ e $0$ .

$f''' (x) = 30$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $30$ .

$30$