Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ da ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $i$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $i$ da $i$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Poiché $| r | < 1$ , la serie converge.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $i$ in $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.3

Combina.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $1$ per $1^{0}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $1$ per $1^{0}$ .

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Passaggio 4.2.4.1.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $1$ e $0$ .

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica $1^{1}$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

Passaggio 4.2.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{4}$

Forma decimale:

$0.75$