Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x}$ , $4 \leq x \leq 9$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 1.3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 1.3.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 1.4

Risolvi $\sqrt{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sqrt{0}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{0}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$\sqrt{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{4}$

Passaggio 3.1.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.1.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $9$ a $x$ .

$\sqrt{9}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{9}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Passaggio 3.2.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(4, 2), (9, 3)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(9, 3)$

Minimo assoluto: $(4, 2)$

Passaggio 5