Calcolo Esempi

$y = (5 x^{2} - 3) (7 x^{3} + x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 x^{2} - 3$ e $g (x) = 7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{3} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{3}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $7$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Passaggio 1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.2.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $2$ per $5$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 1.2.10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Passaggio 1.2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.11.1

Somma $10 x$ e $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x)$

Passaggio 1.2.11.2

Sposta $10$ alla sinistra di $7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (10 (7 x^{3}) + 10 x) x$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $21$ per $5$ .

$105 x^{2} x^{2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.6.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$105 (x^{2} x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$105 x^{2 + 2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.3

Moltiplica $21$ per $- 3$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.6

Somma $- 63 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.7

Moltiplica $7$ per $10$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 (x^{1} x^{3}) + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.10

Somma $1$ e $3$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x \cdot x$

Passaggio 1.3.6.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x)$

Passaggio 1.3.6.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1})$

Passaggio 1.3.6.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Passaggio 1.3.6.14

Somma $1$ e $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.15

Somma $105 x^{4}$ e $70 x^{4}$ .

$175 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 x^{2}$

Passaggio 1.3.6.16

Somma $- 58 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [175 x^{4}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $175$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $175 x^{4}$ rispetto a $x$ è $175 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$175 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $175$ .

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$700 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$700 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 48$ .

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$700 x^{3} - 96 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $700 x^{3} - 96 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$