Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = arcsec (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $arcsec (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

Passaggio 3

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

Passaggio 4.2

Riordina $\sin^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Passaggio 4.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Passaggio 4.4

Scomponi $- 1$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Passaggio 4.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Passaggio 4.6

Riscrivi $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ come $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Passaggio 4.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

Passaggio 4.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.8.1

Riordina $- 1$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

Passaggio 4.8.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

Passaggio 4.8.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Passaggio 4.9

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Passaggio 4.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{i \sin (x)}$

Passaggio 4.10

Frazioni separate.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 4.11

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{i} \csc (x)$

Passaggio 4.12

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{1}{i}$ per il coniugato di $i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

Passaggio 4.13

Moltiplica.

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Passaggio 4.13.1

Combina.

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

Passaggio 4.13.2

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

Passaggio 4.13.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.13.3.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

Passaggio 4.13.3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

Passaggio 4.13.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

Passaggio 4.13.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

Passaggio 4.13.3.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

Passaggio 4.14

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i \csc (x)$

Passaggio 4.15

Riscrivi $- 1 \cdot i$ come $- i$ .

$- i \csc (x)$