Calcolo Esempi

$y = 12 \sin (w t + π)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $12 \sin (w t + π)$ rispetto a $w$ è $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = \sin (w)$ e $g (w) = w t + π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $w t + π$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $w t + π$ .

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $w t + π$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $t$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $w t$ rispetto a $w$ è $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $t$ per $1$ .

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $π$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $π$ rispetto a $w$ è $0$ .

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $t$ e $0$ .

$12 \cos (w t + π) t$

Passaggio 1.3.6.2

Riordina i fattori di $12 \cos (w t + π) t$ .

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $12 t$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $12 t \cos (w t + π)$ rispetto a $w$ è $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ .

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = \cos (w)$ e $g (w) = w t + π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $w t + π$ .

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $w t + π$ .

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $w t + π$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $t$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $w t$ rispetto a $w$ è $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $t$ per $1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 2.3.6

Poiché $π$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $π$ rispetto a $w$ è $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

Passaggio 2.3.7

Somma $t$ e $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

Passaggio 2.4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

Passaggio 2.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 12 t^{2}$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ rispetto a $w$ è $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = \sin (w)$ e $g (w) = w t + π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $w t + π$ rispetto a $w$ è $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 3.3.2

Poiché $t$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $w t$ rispetto a $w$ è $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ è $n w^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $t$ per $1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Passaggio 3.3.5

Poiché $π$ è costante rispetto a $w$ , la derivata di $π$ rispetto a $w$ è $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

Passaggio 3.3.6

Somma $t$ e $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

Passaggio 3.4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

Passaggio 3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$