Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta l'esponente $2022$ da $\cos^{2022} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1 - \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2022} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1 - 1^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos^{2022} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{2022} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2022}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2022}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2022$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 u^{2021} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) (- \sin (x)))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.4

Moltiplica $- 1$ per $2022$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.4.5

Moltiplica $- 2022$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $2022$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.2

Sposta l'esponente $2021$ da $\cos^{2021} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$2022 \frac{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2021} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.6.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2022 \frac{1^{2021} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2022 \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.6.3

Moltiplica $\sin (0)$ per $1$ .

$2022 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.2.6.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 3.1.3.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 3.1.3.5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$2022 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Passaggio 3.1.3.6.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2022 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 3.1.3.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$2022 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2022 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2022 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$2022 (\frac{0}{0})$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos^{2021} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\cos^{2021} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Moltiplica $\cos^{2021} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{2021 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.4.2

Somma $2021$ e $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2021}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [u^{2021}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2021$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 u^{2020} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.6

Sposta $2021$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \cdot \sin (x) \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 1$ per $2021$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{2} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.13

Riordina i termini.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Passaggio 3.3.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \cos (x) + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.15

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.15.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.15.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.15.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.15.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 3.3.16

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Passaggio 3.3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.17.1

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 3.3.17.2

Riordina i termini.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{lim_{x \to 0} - 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{- lim_{x \to 0} 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.3

Sposta il termine $2021$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.5

Sposta l'esponente $2020$ da $\cos^{2020} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$2022 \frac{- 2021 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2020} \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.7

Sposta l'esponente $2$ da $\sin^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.9

Sposta l'esponente $2022$ da $\cos^{2022} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.12

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.13

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Passaggio 4.14

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 4.15

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1^{2020} \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 2021$ per $1$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0^{2} + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $- 2021$ per $0$ .

$2022 \frac{0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.7

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2022 \frac{0 + 1^{2022}}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2022 \frac{0 + 1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.1.9

Somma $0$ e $1$ .

$2022 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2022 \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Passaggio 6.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2}$

Passaggio 6.2.5

Somma $0$ e $2$ .

$2022 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $2022$ .

$2 (1011) \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 1011 \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$1011$