Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x + 4} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 4}$ come ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Passaggio 1.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.13

Moltiplica $\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3.14

Sposta ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$ per $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Passaggio 2.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Passaggio 2.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}$

Passaggio 2.9

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Passaggio 2.10

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 \cdot 0 + 1)}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} (0 + 1)}$

Passaggio 4.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4} \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}} \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$