Calcolo Esempi

$e^{y} - x y = e$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{y} - x y) = \frac{d}{d x} (e)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} - x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{y} y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$e^{y} y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$e^{y} y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{y} y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{y} y' - (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$e^{y} y' - (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y} y' - (x y') - y$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$e^{y} y' - x y' - y$

Passaggio 3

Poiché $e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$e^{y} y' - x y' - y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $e^{y} y' - x y' - y$ .

$y' e^{y} - x y' - y = 0$

Passaggio 5.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{y} - x y' = y$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $y' e^{y} - x y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $y' e^{y}$ .

$y' (e^{y}) - x y' = y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (e^{y}) + y' (- x) = y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (e^{y}) + y' (- x)$ .

$y' (e^{y} - x) = y$

Passaggio 5.4

Dividi per $e^{y} - x$ ciascun termine in $y' (e^{y} - x) = y$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $e^{y} - x$ ciascun termine in $y' (e^{y} - x) = y$ .

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{y} - x$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{e^{y} - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$