Calcolo Esempi

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi la frazione.

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x + 4 x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.1.2

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

Passaggio 2.1.1.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (1) + 4 x (x)$ .

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Passaggio 2.1.1.2

Riduci l'espressione $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

Passaggio 2.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $4 (1 + x)$ .

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Passaggio 2.1.5

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Passaggio 2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Passaggio 2.1.6

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

Passaggio 2.1.6.2

Dividi $(A) \cdot (4)$ per $1$ .

$1 = (A) \cdot (4)$

Passaggio 2.1.7

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 4 A$

Passaggio 2.2

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{1 + x}$ .

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Passaggio 4

$\frac{1}{4}$ e $5$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$