Calcolo Esempi

$\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$ come ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 12

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + 0)$

Passaggio 13

Somma $3 x^{2} + 2 x + 1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $3 x^{2} + 2 x + 1$ per $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$