Calcolo Esempi

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

Passaggio 4.3

$d$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Passaggio 4.4

$\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 4.5

Sposta $x^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

Passaggio 4.6.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

Passaggio 4.6.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Passaggio 4.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Passaggio 4.6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

Passaggio 4.6.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ come $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $d$ .

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$