Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Passaggio 9.2

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 9.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

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Passaggio 11.1.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Passaggio 11.1.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Passaggio 11.3

Semplifica.

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 11.3.2

$2$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$