Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- \frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{5} x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 6$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.6

$\frac{- 12}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- \frac{12}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{12 x^{5}}{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.4

$- 5$ e $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica $- 5$ per $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.6

$\frac{- 60}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.1

Scomponi $5$ da $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.7.2.4

Dividi $- 12 x^{4}$ per $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 u$ da $- 12 u^{2} + 60 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $12 u$ da $- 12 u^{2}$ .

$12 u (- u) + 60 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $12 u$ da $60 u$ .

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $12 u$ da $12 u (- u) + 12 u (5)$ .

$12 u (- u + 5) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $- x^{2} + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- x^{2} + 5$ uguale a $0$ .

$- x^{2} + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- x^{2} + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 5$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 5$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Passaggio 2.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{2}{5}) + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{5}$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{5}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{6}$ come $5^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{5}$ nel numeratore.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Scomponi $5$ da $5^{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Passaggio 3.3.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 125$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 50$ e $125$ .

$f (\sqrt{5}) = 75$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $75$ .

$75$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ è $(\sqrt{5}, 75)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\sqrt{5}, 75)$

Passaggio 3.5

Sostituisci $- \sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{5}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{5}}^{6}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{6}$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{6}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6 + 1} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.2.3

Somma $6$ e $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{7} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{6}$ come $5^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{5}$ nel numeratore.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.5.2

Scomponi $5$ da $5^{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.7

Moltiplica $- 2$ per $25$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.8

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4})$

Passaggio 3.5.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 (1 {\sqrt{5}}^{4})$

Passaggio 3.5.2.1.10

Moltiplica ${\sqrt{5}}^{4}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {\sqrt{5}}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.11

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{4}$ come $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.11.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Passaggio 3.5.2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.11.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.12

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.12.1

Moltiplica $5$ per $5^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.12.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.12.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Passaggio 3.5.2.1.12.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.13

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 125$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $- 50$ e $125$ .

$f (- \sqrt{5}) = 75$

Passaggio 3.5.2.3

La risposta finale è $75$ .

$75$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $- \sqrt{5}$ in $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ è $(- \sqrt{5}, 75)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \sqrt{5}, 75)$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\sqrt{5}, 75), (- \sqrt{5}, 75)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{5})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.33606797$ nell'espressione.

$f'' (- 2.33606797) = - 12 {(- 2.33606797)}^{4} + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.33606797$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $29.78118022$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 2.33606797$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $60$ per $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 357.37416272$ e $327.43281572$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 29.94134699$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Passaggio 5.3

Per $- 2.33606797$ , la derivata seconda è $- 29.94134699$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{5})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \sqrt{5})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \sqrt{5}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.11803398$ nell'espressione.

$f'' (- 1.11803398) = - 12 {(- 1.11803398)}^{4} + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.11803398$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.5625$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1.11803398$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $60$ per $1.25$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 75$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 18.75$ e $75$ .

$f'' (- 1.11803398) = 56.25$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $56.25$ .

$56.25$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.11803398$ , la derivata seconda è $56.25$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \sqrt{5}, 0)$ .

Crescente su $(- \sqrt{5}, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \sqrt{5})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.11803398$ nell'espressione.

$f'' (1.11803398) = - 12 {(1.11803398)}^{4} + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.11803398$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1.5625$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $1.11803398$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $60$ per $1.25$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 75$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 18.75$ e $75$ .

$f'' (1.11803398) = 56.25$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $56.25$ .

$56.25$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.11803398$ , la derivata seconda è $56.25$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \sqrt{5})$ .

Crescente su $(0, \sqrt{5})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{5}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.33606797$ nell'espressione.

$f'' (2.33606797) = - 12 {(2.33606797)}^{4} + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.33606797$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $29.78118022$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2.33606797$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $60$ per $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 357.37416272$ e $327.43281572$ .

$f'' (2.33606797) = - 29.94134699$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Passaggio 8.3

Per $2.33606797$ , la derivata seconda è $- 29.94134699$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\sqrt{5}, \infty)$ .

Decrescente su $(\sqrt{5}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$ .

$(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$

Passaggio 10