Calcolo Esempi

$\frac{x}{1 + x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x}{1 + x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x}{1 + x} d x$

Passaggio 4

Riordina $1$ e $x$ .

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi $x$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Passaggio 9

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 9.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 9.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$x + C - (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$x - \ln (| u |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$x - \ln (| x + 1 |) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ .

$F (x) =$ $x - \ln (| x + 1 |) + C$