Calcolo Esempi

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Passaggio 6.1.4

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 9

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\arctan (u_{1})$ .

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Passaggio 9.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$