Calcolo Esempi

$\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Passaggio 4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Passaggio 4.2.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Passaggio 4.2.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Passaggio 4.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Passaggio 4.2.6.2

Somma $1$ e $4$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$2$ e $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$