Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sqrt{x} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 8.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 8.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 8.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$