Calcolo Esempi

$\int 10 x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Passaggio 1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$10 \int x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 5 x^{2} + 2$ . Allora $d u = 10 x d x$ , quindi $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 5 x^{2} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $10 x$ e $0$ .

$10 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$10 \int \sin (u) \frac{1}{10} d u$

Passaggio 3

$\sin (u)$ e $\frac{1}{10}$ .

$10 \int \frac{\sin (u)}{10} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$10 (\frac{1}{10} \int \sin (u) d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{10}$ e $10$ .

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $10$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sin (u) d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int \sin (u) d u$ per $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2} + 2$ .

$- \cos (5 x^{2} + 2) + C$