Calcolo Esempi

$(1 - x) y' = y^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 3.3.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 3.3.5

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 3.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 4.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riordina i fattori in $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

Passaggio 4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ .

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $y$ da $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

Passaggio 4.3.2.2

Scomponi $y$ da $C y$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

Passaggio 4.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $- 1 \ln (| 1 - x |)$ come $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Passaggio 4.3.4

Dividi per $- \ln (| 1 - x |) + C$ ciascun termine in $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Dividi per $- \ln (| 1 - x |) + C$ ciascun termine in $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ .

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Passaggio 4.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Passaggio 4.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Passaggio 4.3.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

Passaggio 4.3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

Passaggio 4.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Passaggio 4.3.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.5.1

Riscrivi $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ come $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Passaggio 4.3.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Passaggio 4.3.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Passaggio 4.3.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Passaggio 5

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$