Calcolo Esempi

$x^{2} e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Passaggio 7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Passaggio 11

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Passaggio 14

Riscrivi $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ come $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$