Calcolo Esempi

$\int 5 x (2 x + 5) (x - 3) d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int (x (2 x + 5)) (x - 3) d x$

Passaggio 2

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u + 3) (2 u + 2 \cdot 3 + 5) u d u$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3 + 5) + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Passaggio 3.5

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Passaggio 3.7

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5) u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Passaggio 3.8

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3)) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Passaggio 3.9

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Passaggio 3.10

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3)) u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.11

Applica la proprietà distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.12

Riordina $u$ e $2$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.13

Sposta $u$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.14

Riordina $u$ e $5$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 \cdot u \cdot u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.15

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.16

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u^{1}) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int 2 u^{1 + 1} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.18

Somma $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{2} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.19

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 (u^{2} u^{1}) + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int 2 u^{2 + 1} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.21

Somma $2$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.22

Moltiplica $2$ per $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.23

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.24

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u^{1}) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{1 + 1} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.26

Somma $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.27

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.28

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.29

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.30

Somma $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.31

Somma $6 u^{2}$ e $5 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.32

Moltiplica $3$ per $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.33

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.34

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.35

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.36

Somma $1$ e $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.37

Moltiplica $3$ per $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.38

Moltiplica $6$ per $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 3 \cdot 5 u d u$

Passaggio 3.39

Moltiplica $3$ per $5$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 15 u d u$

Passaggio 3.40

Somma $18 u$ e $15 u$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 33 u d u$

Passaggio 3.41

Somma $11 u^{2}$ e $6 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$5 (\int 2 u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$5 (2 \int u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Passaggio 7

Poiché $17$ è costante rispetto a $u$ , sposta $17$ fuori dall'integrale.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 \int u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u)$

Passaggio 9

Poiché $33$ è costante rispetto a $u$ , sposta $33$ fuori dall'integrale.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

$5 (\frac{u^{4}}{2} + \frac{17 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2}) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$5 (\frac{{(x - 3)}^{4}}{2} + \frac{17 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2}) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$5 (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{4} + \frac{17}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$