Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + a x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + a x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + a \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + a$ .

$3 x^{2} + a$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + a = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + a = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = - a$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - a$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - a$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Passaggio 2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} + a x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ a $x$ .

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ come $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $- \frac{a}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{a}{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.6

Riscrivi $- \frac{a^{3}}{27}$ come ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.6.1

Scomponi la potenza perfetta $a^{2}$ su $a^{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.6.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $27$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.6.3

Riordina la frazione $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.6.4

Riordina $- 1$ e ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.6.5

Aggiungi le parentesi.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.1.8

$\frac{a}{3}$ e $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.1.2.3.1

$a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Somma $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ e $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ a $x$ .

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ come $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.4

Applica la regola del prodotto a $- \frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.8

Riscrivi $- \frac{a^{3}}{27}$ come ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.8.1

Scomponi la potenza perfetta $a^{2}$ su $a^{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.8.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $27$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.8.3

Riordina la frazione $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.8.4

Riordina $- 1$ e ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.8.5

Aggiungi le parentesi.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.9

Estrai i termini dal radicale.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.10

$\frac{a}{3}$ e $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 4.2.2.11

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Passaggio 5