Calcolo Esempi

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) + 2 x d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) d x + \int 2 x d x$

Passaggio 2

Metti in evidenza $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Passaggio 3

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (x)$ come $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Passaggio 4

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Passaggio 5

Moltiplica $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6.4

Riscrivi $- 1 u^{4}$ come $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int 2 x d x$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 \int x d x$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 1 x^{2} + C$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + x^{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + x^{2} + C$