Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Nega l'esponente di $3^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{x})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3^{- x}$ per $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 3^{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int 3^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $3^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Passaggio 7

Riscrivi $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ come $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$