Calcolo Esempi

$(\frac{y}{x} + \ln (y)) d x + (\frac{x}{y} + \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{y}{x} + \ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x} + \ln (y)]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y}{x} + \ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 1.4

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = \frac{x}{y} + \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{y} + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} + \ln (x) d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y} + \ln (x)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y + \int \ln (x) d y$

Passaggio 5.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y + \int \ln (x) d y$

Passaggio 5.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C) + \int \ln (x) d y$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C) + \ln (x) y + C$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{x} + \ln (y)$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + \ln (x) y + g (x)] = \frac{y}{x} + \ln (y)$

Passaggio 8.2

Riordina i fattori in $\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + \ln (x) y + g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + y \ln (x) + g (x)] = \frac{y}{x} + \ln (y)$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi.

$(\frac{y}{x} + \ln (y)) d x + (\frac{x}{y} + \ln (x)) d y = 0$

Passaggio 9.1.2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = \frac{y}{x} + \ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x} + \ln (y)]$

Passaggio 9.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y}{x} + \ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 9.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.3.1

Poiché $\frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 9.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 9.1.2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 9.1.2.4

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Passaggio 9.1.3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = \frac{x}{y} + \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + \ln (x)]$

Passaggio 9.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{y} + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 9.1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.3.1

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 9.1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 9.1.3.3.3

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 9.1.3.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 9.1.4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Sostituisci $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 9.1.4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ è un'identità.

Passaggio 9.1.5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} + \ln (x) d y$

Passaggio 9.1.6

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y} + \ln (x)$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y + \int \ln (x) d y$

Passaggio 9.1.6.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y + \int \ln (x) d y$

Passaggio 9.1.6.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C) + \int \ln (x) d y$

Passaggio 9.1.6.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C) + \ln (x) y + C$

Passaggio 9.1.6.5

Semplifica.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + C$

Passaggio 9.1.7

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + g (x)$

Passaggio 9.1.8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{x} + \ln (y)$

Passaggio 9.1.9

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Semplifica $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + y \ln (x) + g (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + y \ln (x) + g (x)) = \frac{y}{x} + \ln (y)$

Passaggio 9.1.9.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + y \ln (x) + g (x)) = \frac{y}{x} + \ln (y)$

Passaggio 9.1.9.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x}{x} = \frac{y}{x} + \ln (y)$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $\frac{x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x}{x} = \frac{y}{x} + \ln (y)$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x}{x} = \frac{y}{x} + \ln (y)$ per $x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x}{x} x = \frac{y}{x} x + \ln (y) x$

Passaggio 9.1.10.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.2.1

$\frac{x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x}{x}$ e $x$ .

$\frac{(x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x) x}{x} = \frac{y}{x} x + \ln (y) x$

Passaggio 9.1.10.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.3.1

$\frac{y}{x}$ e $x$ .

$\frac{(x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x) x}{x} = \frac{y x}{x} + \ln (y) x$

Passaggio 9.1.11

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (y) x = - \frac{(x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x) x}{x} + \frac{y x}{x}$

Passaggio 9.1.12

Riordina i fattori in $- \ln (y) x$ .

$- x \ln (y) = - \frac{(x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x) x}{x} + \frac{y x}{x}$

Passaggio 9.1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.1.1

Elimina il fattore comune.

$- x \ln (y) = - \frac{(x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x) x}{x} + \frac{y x}{x}$

Passaggio 9.1.13.1.2

Dividi $x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x$ per $1$ .

$- x \ln (y) = - (x \ln (| y |) + y \ln (x) + g x) + \frac{y x}{x}$

Passaggio 9.1.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$- x \ln (y) = - (x \ln (| y |)) - (y \ln (x)) - (g x) + \frac{y x}{x}$

Passaggio 9.1.13.3

Rimuovi le parentesi.

$- x \ln (y) = - x \ln (| y |) - y \ln (x) - g x + \frac{y x}{x}$

Passaggio 9.1.13.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.4.1

Elimina il fattore comune.

$- x \ln (y) = - x \ln (| y |) - y \ln (x) - g x + \frac{y x}{x}$

Passaggio 9.1.13.4.2

Dividi $y$ per $1$ .

$- x \ln (y) = - x \ln (| y |) - y \ln (x) - g x + y$

Passaggio 9.1.14

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- x \ln (| y |) - y \ln (x) - g x + y = - x \ln (y)$

Passaggio 9.1.15

Somma $x \ln (y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x \ln (| y |) - y \ln (x) - g x + y + x \ln (y) = 0$

Passaggio 9.1.16

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.16.1

Somma $y \ln (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x \ln (| y |) - g x + y + x \ln (y) = y \ln (x)$

Passaggio 9.1.16.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x \ln (| y |) - g x + x \ln (y) = y \ln (x) - y$

Passaggio 9.1.17

Scomponi $x$ da $- x \ln (| y |) - g x + x \ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.17.1

Scomponi $x$ da $- x \ln (| y |)$ .

$x (- 1 \ln (| y |)) - g x + x \ln (y) = y \ln (x) - y$

Passaggio 9.1.17.2

Scomponi $x$ da $- g x$ .

$x (- 1 \ln (| y |)) + x (- g) + x \ln (y) = y \ln (x) - y$

Passaggio 9.1.17.3

Scomponi $x$ da $x \ln (y)$ .

$x (- 1 \ln (| y |)) + x (- g) + x (\ln (y)) = y \ln (x) - y$

Passaggio 9.1.17.4

Scomponi $x$ da $x (- 1 \ln (| y |)) + x (- g)$ .

$x (- 1 \ln (| y |) - g) + x (\ln (y)) = y \ln (x) - y$

Passaggio 9.1.17.5

Scomponi $x$ da $x (- 1 \ln (| y |) - g) + x (\ln (y))$ .

$x (- 1 \ln (| y |) - g + \ln (y)) = y \ln (x) - y$

Passaggio 9.1.18

Riscrivi $- 1 \ln (| y |)$ come $- \ln (| y |)$ .

$x (- \ln (| y |) - g + \ln (y)) = y \ln (x) - y$

Passaggio 9.1.19

Dividi per $- \ln (| y |) - g + \ln (y)$ ciascun termine in $x (- \ln (| y |) - g + \ln (y)) = y \ln (x) - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.1

Dividi per $- \ln (| y |) - g + \ln (y)$ ciascun termine in $x (- \ln (| y |) - g + \ln (y)) = y \ln (x) - y$ .

$\frac{x (- \ln (| y |) - g + \ln (y))}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)} = \frac{y \ln (x)}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)} + \frac{- y}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln (| y |) - g + \ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- \ln (| y |) - g + \ln (y))}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)} = \frac{y \ln (x)}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)} + \frac{- y}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{y \ln (x)}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)} + \frac{- y}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{y \ln (x) - y}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.3.2

Scomponi $y$ da $y \ln (x) - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.3.2.1

Scomponi $y$ da $y \ln (x)$ .

$x = \frac{y (\ln (x)) - y}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.3.2.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$x = \frac{y (\ln (x)) + y \cdot - 1}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (\ln (x)) + y \cdot - 1$ .

$x = \frac{y (\ln (x) - 1)}{- \ln (| y |) - g + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.3.3

Scomponi $- 1$ da $- g$ .

$x = \frac{y (\ln (x) - 1)}{- \ln (| y |) - (g) + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \ln (| y |) - (g)$ .

$x = \frac{y (\ln (x) - 1)}{- (\ln (| y |) + g) + \ln (y)}$

Passaggio 9.1.19.3.5

Scomponi $- 1$ da $\ln (y)$ .

$x = \frac{y (\ln (x) - 1)}{- (\ln (| y |) + g) - 1 (- \ln (y))}$

Passaggio 9.1.19.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (\ln (| y |) + g) - 1 (- \ln (y))$ .

$x = \frac{y (\ln (x) - 1)}{- (\ln (| y |) + g - \ln (y))}$

Passaggio 9.1.19.3.7

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.19.3.7.1

Riscrivi $- (\ln (| y |) + g - \ln (y))$ come $- 1 (\ln (| y |) + g - \ln (y))$ .

$x = \frac{y (\ln (x) - 1)}{- 1 (\ln (| y |) + g - \ln (y))}$

Passaggio 9.1.19.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y (\ln (x) - 1)}{\ln (| y |) + g - \ln (y)}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $- \frac{y (\ln (x) - 1)}{\ln (| y |) + g - \ln (y)}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $x = - \frac{y (\ln (x) - 1)}{\ln (| y |) + g - \ln (y)}$ .

$\int x d x = \int - \frac{y (\ln (x) - 1)}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int x d x$ .

$g (x) = \int - \frac{y (\ln (x) - 1)}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} d x$

Passaggio 10.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int \frac{y (\ln (x) - 1)}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} d x$

Passaggio 10.4

Poiché $\frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)}$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - (\frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} \int \ln (x) - 1 d x)$

Passaggio 10.5

Rimuovi le parentesi.

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} \int \ln (x) - 1 d x$

Passaggio 10.6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} (\int \ln (x) d x + \int - 1 d x)$

Passaggio 10.7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x)$

Passaggio 10.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x + \int - 1 d x)$

Passaggio 10.8.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x + \int - 1 d x)$

Passaggio 10.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} (\ln (x) x - \int d x + \int - 1 d x)$

Passaggio 10.9

Applica la regola costante.

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} (\ln (x) x - (x + C) + \int - 1 d x)$

Passaggio 10.10

Applica la regola costante.

$g (x) = - \frac{y}{\ln (| y |) + g - \ln (y)} (\ln (x) x - (x + C) - x + C)$

Passaggio 10.11

Semplifica.

$g (x) = - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (\ln (x) x - x - x) + C$

Passaggio 10.12

Sottrai $x$ da $- x$ .

$g (x) = - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (\ln (x) x - 2 x) + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (\ln (x) x - 2 x) + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (\ln (x) x - 2 x) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (\ln (x) x) - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (- 2 x) + C$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $- \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (\ln (x) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

$\ln (x)$ e $\frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})}$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{\ln (x) y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} x - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (- 2 x) + C$

Passaggio 12.1.2.2

$x$ e $\frac{\ln (x) y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})}$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{x (\ln (x) y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} - \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (- 2 x) + C$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $- \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} (- 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{x (\ln (x) y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + 2 \frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} x + C$

Passaggio 12.1.3.2

$2$ e $\frac{y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})}$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{x (\ln (x) y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + \frac{2 y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} x + C$

Passaggio 12.1.3.3

$\frac{2 y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})}$ e $x$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y - \frac{x (\ln (x) y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + \frac{2 y x}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + \frac{- x (\ln (x) y) + 2 y x}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.1.5

Scomponi $x y$ da $- x y \ln (x) + 2 y x$ .

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Passaggio 12.1.5.1

Scomponi $x y$ da $- x y \ln (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + \frac{x y (- \ln (x)) + 2 y x}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.1.5.2

Scomponi $x y$ da $2 y x$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + \frac{x y (- \ln (x)) + x y (2)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.1.5.3

Scomponi $x y$ da $x y (- \ln (x)) + x y (2)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + \ln (x) y + \frac{x y (- \ln (x) + 2)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.2

Per scrivere $x \ln (| y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{g + \ln (\frac{| y |}{y})}{g + \ln (\frac{| y |}{y})}$ .

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x \ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y}))}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + \frac{x y (- \ln (x) + 2)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x \ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y})) + x y (- \ln (x) + 2)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scomponi $x$ da $x \ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y})) + x y (- \ln (x) + 2)$ .

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Passaggio 12.4.1.1

Scomponi $x$ da $x \ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y}))$ .

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x (\ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y}))) + x y (- \ln (x) + 2)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.4.1.2

Scomponi $x$ da $x y (- \ln (x) + 2)$ .

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x (\ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y}))) + x (y (- \ln (x) + 2))}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.4.1.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y}))) + x (y (- \ln (x) + 2))$ .

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x (\ln (| y |) (g + \ln (\frac{| y |}{y})) + y (- \ln (x) + 2))}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x (\ln (| y |) g + \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) + y (- \ln (x) + 2))}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x (\ln (| y |) g + \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) + y (- \ln (x)) + y \cdot 2)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.4.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x (\ln (| y |) g + \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - y \ln (x) + y \cdot 2)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.4.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = \ln (x) y + \frac{x (\ln (| y |) g + \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - y \ln (x) + 2 y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.5

Per scrivere $\ln (x) y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{g + \ln (\frac{| y |}{y})}{g + \ln (\frac{| y |}{y})}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (x) y (g + \ln (\frac{| y |}{y}))}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + \frac{x (\ln (| y |) g + \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - y \ln (x) + 2 y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{\ln (x) y (g + \ln (\frac{| y |}{y})) + x (\ln (| y |) g + \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - y \ln (x) + 2 y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{\ln (x) y g + \ln (x) y \ln (\frac{| y |}{y}) + x (\ln (| y |) g + \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - y \ln (x) + 2 y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{\ln (x) y g + \ln (x) y \ln (\frac{| y |}{y}) + x (\ln (| y |) g) + x (\ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y})) + x (- y \ln (x)) + x (2 y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \frac{\ln (x) y g + \ln (x) y \ln (\frac{| y |}{y}) + x \ln (| y |) g + x \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - x (y \ln (x)) + x (2 y)}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

Passaggio 12.7.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \frac{\ln (x) y g + \ln (x) y \ln (\frac{| y |}{y}) + x \ln (| y |) g + x \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - x (y \ln (x)) + 2 x y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$

$f (x, y) = \frac{y g \ln (x) + y \ln (x) \ln (\frac{| y |}{y}) + x g \ln (| y |) + x \ln (| y |) \ln (\frac{| y |}{y}) - x y \ln (x) + 2 x y}{g + \ln (\frac{| y |}{y})} + C$