Calcolo Esempi

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 8

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 9

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 11

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 12

Semplifica.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\sin (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 14.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 14.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$