Calcolo Esempi

$y = 3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{- 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riordina i termini.

$- 4 x^{- 2} - 6 x^{- 3} + 1$

Passaggio 1.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Passaggio 1.5.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Passaggio 1.5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Passaggio 1.5.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{3}} + 1$

Passaggio 1.5.2.5

$- 6$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{3}} + 1$

Passaggio 1.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{6}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 x^{- 4} + 0$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

$8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Passaggio 2.5.3.2

$18$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}} + 0$

Passaggio 2.5.3.3

Somma $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$8 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$8 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$8 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$- 24 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{18}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 3.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 3.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 4$ per $18$ .

$- 24 x^{- 4} - 72 x^{- 5}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 x^{- 5}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$- 24$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 3.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 3.4.3.3

$- 72$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{- 72}{x^{5}}$

Passaggio 3.4.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{24}{x^{4}} - \frac{72}{x^{5}}$