Calcolo Esempi

$\int {(x^{3} + 3)}^{3} x^{5} d x$

Passaggio 1

Espandi ${(x^{3} + 3)}^{3} x^{5}$ .

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Passaggio 1.1

Usa il teorema binomiale.

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot 3^{2} + 3^{3}) x^{5} d x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3^{3}) x^{5} d x$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3 \cdot 3^{2}) x^{5} d x$

Passaggio 1.7

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) + 3 \cdot (3 \cdot 3)) x^{5} d x$

Passaggio 1.8

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3)) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Passaggio 1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3) x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Passaggio 1.10

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{5} + 3 (x^{3} x^{3}) \cdot 3 x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Passaggio 1.11

Sposta $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Passaggio 1.12

Sposta $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 x^{3} \cdot (3 \cdot 3) x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Passaggio 1.13

Sposta $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot (3 \cdot 3) x^{5} d x$

Passaggio 1.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.15

Somma $3$ e $3$ .

$\int x^{6} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6 + 3} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.17

Somma $6$ e $3$ .

$\int x^{9} x^{5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{9 + 5} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.19

Somma $9$ e $5$ .

$\int x^{14} + 3 \cdot 3 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.20

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{3} x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{14} + 9 x^{3 + 3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.22

Somma $3$ e $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{6} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.23

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{14} + 9 x^{6 + 5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.24

Somma $6$ e $5$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.25

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 9 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.26

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{3} x^{5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.27

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{3 + 5} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.28

Somma $3$ e $5$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 3 \cdot 3 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.29

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 9 \cdot 3 x^{5} d x$

Passaggio 1.30

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 27 x^{5} d x$

$\int x^{14} + 9 x^{11} + 27 x^{8} + 27 x^{5} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{14} d x + \int 9 x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{14}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{15} x^{15}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + \int 9 x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Passaggio 4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 \int x^{11} d x + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{11}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{12} x^{12}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + \int 27 x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Passaggio 6

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , sposta $27$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 \int x^{8} d x + \int 27 x^{5} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int 27 x^{5} d x$

Passaggio 8

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , sposta $27$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 27 \int x^{5} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{15} x^{15} + C + 9 (\frac{1}{12} x^{12} + C) + 27 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + 27 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + 27 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + 27 \frac{x^{6}}{6} + C$

Passaggio 10.2.2

$27$ e $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{27 x^{6}}{6} + C$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $27$ e $6$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Scomponi $3$ da $27 x^{6}$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{6} + C$

Passaggio 10.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{3 (2)} + C$

Passaggio 10.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{3 (9 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

Passaggio 10.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{9 x^{6}}{2} + C$

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{9 x^{6}}{2} + C$

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{9 x^{6}}{2} + C$

$\frac{x^{15}}{15} + \frac{3 x^{12}}{4} + 3 x^{9} + \frac{9 x^{6}}{2} + C$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{15} x^{15} + \frac{3}{4} x^{12} + 3 x^{9} + \frac{9}{2} x^{6} + C$

$\frac{1}{15} x^{15} + \frac{3}{4} x^{12} + 3 x^{9} + \frac{9}{2} x^{6} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$