Calcolo Esempi

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Espandi $(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7.7

Riordina $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $3 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 13.2.2

$2$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$