Calcolo Esempi

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.4

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Passaggio 2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Passaggio 2.7

$2$ e $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

Passaggio 2.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.9.1

$2$ e $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Passaggio 2.9.3

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

Passaggio 2.9.4

Riordina i termini.

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$