Calcolo Esempi

$\int 5 x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 x^{3} - 6$ . Allora $d u = 6 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 2 x^{3} - 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 6]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$5 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Passaggio 3

$\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{\sec^{2} (u)}{6} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{6} \int \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{6}$ e $5$ .

$\frac{5}{6} \int \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$\frac{5}{6} (\tan (u) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{5}{6} \tan (u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{5}{6} \tan (2 x^{3} - 6) + C$