Calcolo Esempi

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Passaggio 3

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Passaggio 6.2

$\csc^{2} (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Passaggio 8

Poiché la derivata di $- \cot (u)$ è $\csc^{2} (u)$ , l'integrale di $\csc^{2} (u)$ è $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{3}$ e $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$