Calcolo Esempi

$x + \sqrt{x + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt{x + 1}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.2.13

Moltiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.2.14

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 2.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

Passaggio 2.2.14

Somma $1$ e $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

Passaggio 2.2.15

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.2.17

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.18

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.19

Sposta ${(x + 1)}^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

Passaggio 2.2.20

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.20.1

Sposta $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Passaggio 2.2.20.2

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.20.2.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Passaggio 2.2.20.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.20.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.20.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Passaggio 2.2.20.5

Somma $2$ e $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.2.21

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.2.22

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3

Sottrai $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ da $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Passaggio 3.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ come ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 3.1.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Passaggio 3.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.7.2

${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.7.3.2

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.7.3.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.7.4

Moltiplica $\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.7.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $\frac{3}{8}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ come ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{3}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $- 5$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.7.2

${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.3.1

Sposta $5$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.7.3.2

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.7.4

Moltiplica $\frac{3}{8}$ per $\frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.7.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.5.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{15}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.7.5.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 4.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 4.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$