Calcolo Esempi

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Per scrivere $2 x y y'$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Sposta $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.4

Per scrivere $y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.6.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi l'equazione per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Sottrai $y^{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x y'$ da $2 y^{3} x y'$ .

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Passaggio 5.2.2.2

Scomponi $x y'$ da $- x^{2} y'$ .

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

Passaggio 5.2.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ .

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

Passaggio 5.2.3

Dividi per $x (2 y^{3} - x)$ ciascun termine in $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi per $x (2 y^{3} - x)$ ciascun termine in $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ .

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 y^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

Passaggio 5.2.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.2.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (2 y^{3} - x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

Passaggio 5.2.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 y^{3} - x) x$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.5

Scomponi $y$ da $- y^{4} - 2 y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- y^{4}$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.5.2

Scomponi $y$ da $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.5.3

Scomponi $y$ da $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (y^{3}) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.9.1

Riscrivi $- (y^{3} + 2 x)$ come $- 1 (y^{3} + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 5.2.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$