Calcolo Esempi

$3^{x} + 2021$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3^{x} + 2021$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $2021$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2021$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3^{x} \ln (3) + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $3^{x} \ln (3)$ e $0$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\ln (3)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3^{x} \ln (3)$ rispetto a $x$ è $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

Passaggio 2.3

Eleva $\ln (3)$ alla potenza di $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

Passaggio 2.4

Eleva $\ln (3)$ alla potenza di $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $\ln^{2} (3)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3^{x} \ln^{2} (3)$ rispetto a $x$ è $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\ln^{2} (3)$ per $\ln (3)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $\ln (3)$ .

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\ln (3)$ per $\ln^{2} (3)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Eleva $\ln (3)$ alla potenza di $1$ .

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Passaggio 3.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

Passaggio 3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ .

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$