Calcolo Esempi

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x^{2} - 16$ e $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $8$ alla sinistra di $x - 2$ .

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Passaggio 3.3.5.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.1.2

Scomponi $4$ da $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.1.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.3.5.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 3.3.5.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.2

Dividi $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 4$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4$