Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi usando la divisione tra polinomi in colonna.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 1.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Passaggio 1.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Passaggio 1.1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 1.1.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Passaggio 1.2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

Passaggio 1.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 1.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Passaggio 1.2.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 1.2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Passaggio 1.2.3

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.6.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.7.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + x + 1)$ per $1$ .

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.7.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.7.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.2.7.4.2

Dividi $(B x + C) (x - 1)$ per $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Passaggio 1.2.7.5

Espandi $(B x + C) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Passaggio 1.2.7.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Passaggio 1.2.7.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.2.7.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.6.1.1

Sposta $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.2.7.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.2.7.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.2.7.6.3

Riscrivi $- 1 (B x)$ come $- (B x)$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Passaggio 1.2.7.6.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Passaggio 1.2.7.6.5

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Passaggio 1.2.8.2

Sposta $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Passaggio 1.2.8.3

Sposta $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Passaggio 1.2.8.4

Sposta $A x$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Passaggio 1.3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 1.3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 1 B + C$

Passaggio 1.3.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 1 C$

Passaggio 1.3.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Passaggio 1.4

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Passaggio 1.4.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A - 1 B + C$ con $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica $(1 - B) - 1 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- B$ .

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Passaggio 1.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A - 1 C$ con $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.4.1

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Passaggio 1.4.3

Riordina $1$ e $- B$ .

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

Passaggio 1.4.4

Risolvi per $C$ in $0 = 1 - 2 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 - 2 B + C = 0$ .

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Passaggio 1.4.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Passaggio 1.4.4.2.2

Somma $2 B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Passaggio 1.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 1 + 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $0 = 1 - B - C$ con $- 1 + 2 B$ .

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1

Semplifica $1 - B - (- 1 + 2 B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.5.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.5.2.1.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.5.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.2.1.2.1

Somma $1$ e $1$ .

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.5.2.1.2.2

Sottrai $2 B$ da $- B$ .

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.6

Risolvi per $B$ in $0 = - 3 B + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 B + 2 = 0$ .

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.6.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = - 2$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.6.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{2}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = - 1 + 2 B$ con $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.1

Semplifica $- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.1.1

Moltiplica $2 (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.1.1.1

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.2.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.2.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.2.1.5.2

Somma $- 3$ e $4$ .

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Passaggio 1.4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B + 1$ con $\frac{2}{3}$ .

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.4.1

Semplifica $- (\frac{2}{3}) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.4.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.7.4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.7.4.1.3

Somma $- 2$ e $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.4.8

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Passaggio 1.5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Moltiplica $\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Passaggio 1.6.1.2

Combina.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.3

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.3.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.3.2

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.3.3

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Passaggio 1.6.3.3.4

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Passaggio 1.6.3.3.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 1.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 1.6.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Allora $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 8.1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Passaggio 8.1.6

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$2 x + 1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$