Calcolo Esempi

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Passaggio 1

Trova $y'$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Passaggio 1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia.

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Passaggio 1.3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 1.3.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 e^{2 x}$

Passaggio 2

Trova $y''$ .

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Passaggio 2.1

Imposta la derivata.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.4

Rimuovi le parentesi.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Passaggio 2.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Passaggio 3

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Passaggio 4

Somma $2 e^{2 x}$ e $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Passaggio 5

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = e^{2 x}$ è una soluzione a $y' + y'' = 6 e^{2 x}$