Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $\frac{4}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ e ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ da ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $i$ e $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $i$ da $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = \frac{7}{6}$

Passaggio 3

Verifica se la serie è convergente o divergente.

Poiché $| r | \geq 1$ , la serie diverge.