Calcolo Esempi

$\int x (2 x^{2} + 1) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x^{2} + 1$ . Allora $d u = 4 x d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$u$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{8} {(2 x^{2} + 1)}^{2} + C$