Calcolo Esempi

$\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 8.2

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{- 3} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

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Passaggio 10.1.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 10.1.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$