Calcolo Esempi

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x - 1}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Moltiplica $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.2

Riscrivi $- 1 x^{- 2}$ come $- x^{- 2}$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$