Calcolo Esempi

$\int (x^{3} - 3 x + e^{3 x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int x^{3} - 3 x + e^{3 x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{3} d x + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x d x + \int e^{3 x} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{3 x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{u} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$