Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Converti gli esponenti negativi in frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.1.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

Passaggio 1.2

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

Passaggio 1.2.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

Passaggio 1.2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.2.6

Moltiplica $\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ per $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $x$ da $(x^{4} - 1) x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x^{2} - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 2.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

Passaggio 2.1.3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 2.1.3.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Moltiplica $1^{2} - 1 \cdot 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.3.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.3.6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 2.1.3.6.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Passaggio 2.3.5

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.10

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.14

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $x^{2} - 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

Passaggio 2.3.17

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 3.6

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 3.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \frac{1}{3 - 1}$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2$