Calcolo Esempi

$e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{x} - e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{x} - e^{- x} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{x} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x} + C - \int e^{- x} d x$

Passaggio 7

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} + C - \int - e^{u} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{x} + C - - \int e^{u} d u$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x} + C + 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$e^{x} + C + \int e^{u} d u$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{x} + C + e^{u} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$e^{x} + e^{u} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ .

$F (x) =$ $e^{x} + e^{- x} + C$