Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 1$ is concave down at $x = 1$

Passaggio 1

Trova il corrispondente valore $y$ per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 1$

Passaggio 1.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 1.2.4

Semplifica ${(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1 - 6 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 1.2.4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 1 - 6 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.2.4.1.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$y = 1 - 6 + 1$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $6$ da $1$ .

$y = - 5 + 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $- 5$ e $1$ .

$y = - 4$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = - 4$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $3 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Passaggio 2.4

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 12 \cdot 1$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$3 - 12$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $12$ da $3$ .

$- 9$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 9$ e un punto dato $(1, - 4)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - 9 \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $- 9 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y + 4 = 0 + 0 - 9 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 4 = - 9 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 4 = - 9 x - 9 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$y + 4 = - 9 x + 9$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 9 x + 9 - 4$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $4$ da $9$ .

$y = - 9 x + 5$

Passaggio 4