Calcolo Esempi

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y - \frac{x}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $\frac{x}{y}$ per $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Passaggio 2.3.8

Somma $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ e $0$ .

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Per scrivere $x^{2} y'$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.1.2

Moltiplica $- (- x y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.2

Per scrivere $2 x y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.1.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Sottrai $2 x y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

Passaggio 5.3.1.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y' y^{2} + x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $x y'$ da $x^{2} y' y^{2}$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $x y'$ da $x y'$ .

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $x (x y^{2} + 1)$ ciascun termine in $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $x (x y^{2} + 1)$ ciascun termine in $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ .

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Per scrivere $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x y^{2} + 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x y^{2} + 1) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5

Scomponi $y$ da $- 2 y^{3} x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.4

Scomponi $y$ da $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.7

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.9.1

Riscrivi $- (2 y^{2} x - 1)$ come $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$