Calcolo Esempi

$2 x^{2} + y^{2} - x y = 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + y^{2} - x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 x + 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$4 x + 2 y y' - (x y' + y)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 2 y y' - (x y') - y$

Passaggio 2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x + 2 y y' - x y' - y$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$2 y y' - x y' + 4 x - y$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' - x y' + 4 x - y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - x y' - y = - 4 x$

Passaggio 5.1.2

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - x y' = - 4 x + y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $2 y y' - x y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = - 4 x + y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = - 4 x + y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = - 4 x + y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 y - x$ ciascun termine in $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 y - x$ ciascun termine in $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y - x$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 4 x + y}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (4 x) + y}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- y)}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (4 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (4 x - y)}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.5.1

Riscrivi $- (4 x - y)$ come $- 1 (4 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - y)}{2 y - x}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$